金版计划｜温伯格《系统化思维导论》领读·第 03 篇
向谦备忘录，启发小进步，我是徐向谦。
三个人做一件事，是什么感觉？
我和另外两个人办过一场小活动。场地、内容、通知，三句话分完，微信上说一声就定了。中间改了两次主意，也没人需要开会——谁改了，另外两个人立刻就知道。
三十个人做一件事，又是什么感觉？
拉群，排期，对齐目标，定周会。每周同步一次进展，还是有人不知道；文档写了，还是有人没看；两个小组做了同一件事，第三个小组以为那件事没人做。你一天里真正推进工作的时间，被切成了碎片，剩下的全花在“让大家知道彼此在干什么”上。
人多了十倍，事情难了十倍吗？不止。你心里清楚，是难了几十倍。
可我们嘴上还是照着线性说话：人多一倍，事多一倍，无非是累一点。招人的时候按人头算产出，排期的时候按人天算工期。
那么问题来了。这笔账到底是怎么涨的？为什么体感上，乱是成倍炸开的，而不是一点一点添上来的？
温伯格的回答，是把这笔账一分一厘地算给你看。而且不止一笔，是三笔，一笔比一笔贵。今天这一篇，我陪你把三笔账都过一遍。过完你会发现，标题里那个“翻四倍”，其实是打完所有折扣之后的价钱。
坐标在原书第 1 章：第 3 节「计算的平方律」，第 4 节「科学的简化和简化的科学」。
第一笔账：每加一个，账本翻一倍
温伯格没从人讲起，从星星讲起。
想算清行星的轨道，得先把方程写出来。最简单的情况：两个物体。要写几个方程？
温伯格掰开来数。先得描述每个物体自己怎么动，这叫“孤立”方程，两个物体两个。再描述这两个怎么互相影响，这叫“相互作用”方程，一个。最后还得有一个“场”方程，描述两个物体都不在的时候，这块空间本身什么样。
加起来，最普通的两体系统需要 4 个方程。
好，现在往里加东西。
“场”方程永远只有 1 个，加多少物体都不变。“孤立”方程老老实实跟着涨，n 个物体 n 个。真正吓人的是第三类。温伯格的原话是：“‘相互作用’方程的数量则迅速增加，n 个物体需要 2 的 n 次方个相互作用方程！”
这个句子里带一个感叹号。温伯格全书用感叹号的地方不多。
他随即给了两个数：
由 10 个物体组成的系统存在 2 的 10 次方等于 1024 个方程，100 000 个物体就会有 10 的 30000 次方个方程。
10 个物体，1024 个方程。10 万个物体，10 的 30000 次方个方程。
后面这个数已经没法感受了，我只能给你一个参照：整个可观测宇宙的原子加起来，大约是 10 的 80 次方个。
这两个数字翻成人话，就一句：你往系统里再加一个物体，要写的方程不是多一份，是整本账翻一倍。
它为什么涨得这么凶？因为它数的不是一对一对的关系。两个一伙、三个一伙、一直到全体一伙，每一种搭配都得单算一笔。所以每加进一个新成员，原来所有的搭配都要再来一遍——一遍带他，一遍不带他。这层意思温伯格没有展开，我替你补上。
这里我得说说自己栽的跟头，而且栽得很傻。
我核这个数的时候，核错了。我手上那个电子版把上标全丢了：“2 的 n 次方”印成了“2n”，“10 的 30000 次方”印成了“1030 000”。我照着读下去，心里还嘀咕：10 个物体 20 个方程，这也不多啊，温伯格至于用感叹号吗？
再往下读一行，撞见“1024 个方程”，我才知道账算小了。按我读错的那版，10 个物体 20 个方程；按原文，1024 个。差 50 倍。而这才 10 个物体。
这个跟头值得说出来，因为它恰好就是本篇要讲的那个错误本身。我们的直觉默认万物线性增长，线性到连指数符号摆在眼前，都会被顺手读成线性的。
现在回头看你那个三十人的项目。加进第三十一个人，你以为多出来的是一个人的工作量。实际多出来的，是他和已有三十个人之间的关系，以及他和这三十人已经结成的各种小圈子之间的关系。你要照看的从来不是人，是关系。
“一个团队的规模，以两个披萨能喂饱为限”——这句话之所以站得住，根不在谁的管理经验，在这笔账。
第二笔账：牛顿凭什么赢，他做了四次减法
温伯格给这一节挑的题词，是汉德法官的一句自嘲：
我不知道他人如何，我自己一般在开始时就放弃了。对于那些每天都能遇到的最简单的问题，我一试图深入思考，就感觉完全无法回答。
这话你大概有共鸣。既然 10 万个物体就有 10 的 30000 次方个方程，牛顿凭什么算得出行星轨道？他手上连计算器都没有。
温伯格的答案是：牛顿不是算得快，是他敢不算。而且不是随便不算，是分四步、每一步都有理由地不算。
第一步，忽略小物体。太阳系里有成千上万个天体，可所有关于行星运动的分析，“从一开始就忽略了其中大部分天体”。方程数从 10 的 30000 次方，降到 1000 个左右。温伯格的评语很实在：即使仍然不能求解，“但至少能写出所有方程”。
第二步，宣布“不需要其他方程”。万有引力定律给出了两个物体之间的吸引力公式。温伯格说，从简化的角度看，这个方程“说得比较隐晦，因为它指出：不需要其他方程”。意思是：任意两个物体之间的作用力，跟第三者无关。所以只算两两，然后把结果加起来就行。1000 个方程降到 45 个（10 个物体里任取 2 个的全部组合），计算量至少减到原来的百分之一。
温伯格在这儿顺手挖苦了一句，我很喜欢。他说，心理学家要是也能这么叠加，“那就开心死了”——研究一遍夫妻、研究一遍父子、研究一遍母子，三笔加起来就能预测一个三口之家。
可惜他紧接着泼了盆冷水：“只有在力学和其他少数学科中，这样的两两作用叠加才能成功。”
这句请你记住。两两叠加什么时候成立、什么时候是幻觉，是这本书后面的一根主线（第 23 篇讲强连接定律时，会正面回答它）。
第三步，扔掉不带主角的那些关系。太阳系里有个物体一家独大：太阳的质量，比其他所有天体的质量之和还大得多。既然如此，那些没有太阳参与的两两作用力，就小到可以扔了。45 个方程降到 10 个左右，计算量再降到不到原来的二十分之一。
这一步温伯格特意点了一句，很重要：这么干能成立，“是因为太阳系的特点，而不是因为力学原理”。换句话说，这不是一条可以到处套用的规矩，是这个对象恰好长成了允许你这么干的样子。
第四步，把系统拆开。牛顿更进一步，把每个行星和太阳看成一个独立系统，跟别的行星分开。这样每个子系统里就只剩两个物体——回到了最开头那个 4 个方程的两体问题。
四步做完，牛顿才开始动笔求解。
所以温伯格给出了这本书里我最想请你记住的一句人物评价：
牛顿是一个天才，不是因为他的大脑具有超级计算能力，而是因为他会简化和理想化，使得普通人的大脑能在一定程度上认知这个世界。
紧跟着，他说出了整本书的野心：“通过研究过去成功和失败的简化方法，我们希望人类知识的进步不要过分依赖天才。”
这四步减法，你今天就能用。
一份方案里最值钱的部分，往往不是结论，是那句“以下因素本次不考虑”。多数方案不写这一栏，写了也是随手勾几个不重要的。可复盘的时候你会发现，出事的地方十有八九就在那栏里。
牛顿这四步，第三步最值得偷师。他不是按“重要不重要”从下往上删，他是先找到那个一家独大的因素，再把所有不带它的关系整批扔掉。
你排一个项目的优先级，能不能也先问一句——这件事里，太阳是谁？
第三笔账：解这些方程，本身又是平方
前两笔账算的都是“要写多少个方程”。第三笔账问的是另一件事：写出来之后，解它们要花多少钱。
温伯格说，我们不需要精确测量，只想估个数——“随着问题规模的增长，计算量将如何增长”。经验给出的答案是：除非能做某种简化，否则计算量的增长“至少是方程数增长的平方”。
这就是计算的平方律。它最好记的那个形式是：
如果方程数加倍，必须采用快 4 倍的计算机，才能在相同的时间内求解。
标题里“翻四倍”这三个字，出处就在这儿。
#1 计算的平方律：“如果方程数加倍，必须采用快 4 倍的计算机，才能在相同的时间内求解。”（第 1 章）
温伯格还把这条定律画成了一张图，我觉得是全章最漂亮的一笔。一组方程画成一个正方形，边长是方程数，面积就是计算量。于是“平方”这件抽象的事，变成了你一眼能看见的面积。
一组 6 个方程，正方形边长 6，面积 36。
把它拆成两组、每组 3 个方程：两个边长为 3 的正方形，面积一共 18。
再拆到底，拆成 6 个单独的方程：6 个边长为 1 的小方块，面积一共 6。
计算的平方律：正方形的边长是方程数，面积是计算量。把 6 个方程的方程组拆成两组 3 个，面积从 36 降到 18；拆成 6 个单独的方程，面积降到 6。——《系统化思维导论》第 1 章图 1-4
一个方程都没砍掉，只是让它们分了家，计算量掉到原来的六分之一。这也正是牛顿第四步在干的事。
顺带说一句这条定律击碎过的一个梦。牛顿之后，很多哲学家赞同拉普拉斯的看法：只要精确观测到每个粒子的位置和速度，“就可以计算出整个宇宙的未来”。他们也意识到这需要一台巨型计算机，只不过温伯格说得很俏皮——那时候，“他们连最小的计算机都没有”。
击碎拉普拉斯之梦的，不是哪条新的物理定律，是一张账单。
现在把三笔账叠起来看：
- 第一笔：加一个物体，方程数翻一倍。
- 第二笔：牛顿四步减法之后，只剩两两，是平方。
- 第三笔：解这些方程，成本又是方程数的平方。
所以“问题多一倍，难度翻四倍”，是打完所有折扣之后的价钱。你那个三十人的项目比三个人的难上几十倍，不是你带队能力有问题。是账本原本就长这样。
金版批注
温伯格在这一节末尾，顺手刻薄了一下同行。老一辈物理学家抱怨，现在的年轻人不研究“真正的物理学”了——这些“暴发户”搬出计算机去硬解大量方程，“而不是利用物理‘直觉’先减少方程的数量”。
半个世纪过去，我得说一句：这批暴发户赢了。我们真的开始硬解了。不简化，不理想化，不去找那个一家独大的太阳，把海量参数灌进去让机器自己撞。而它工作得很好。
所以这一条，我认为他失效了。
分寸要说清。失效的不是平方律——它还在收账，一分不少，只是账单改由数据中心付，而且付得起。失效的是他从平方律里推出来的那条结论：不先简化，就没法往前走。这条推论藏着一个前提，算力昂贵而稀缺。这个前提被人用钱买断了。
别急着高兴。买断的只是机器那一侧。你脑子里没装 GPU，牛顿那四步减法对你仍然是唯一的活路。
他给这一节挑的题词，是阿什比的一句话：“如今，只要有足够的时间和金钱，我们就可以应付生物系统所有的复杂性和多样性。”这五十年发生的事情是：有人真的把那笔钱付了。
这一篇，你带走什么
黑板报
- 往系统里加一个物体，方程不是多一份，是整本账翻一倍——10 个物体，1024 个方程。你要照看的从来不是人，是关系。
- 牛顿的天才不在算得快，在敢不算：忽略小的、只算两两、扔掉不带太阳的、再把系统拆开。四步做完他才动笔。
- 计算的平方律：方程数加倍，得换快 4 倍的机器。而“翻四倍”，已经是打完所有折扣之后的价钱。
本篇金句
“牛顿是一个天才，不是因为他的大脑具有超级计算能力，而是因为他会简化和理想化，使得普通人的大脑能在一定程度上认知这个世界。”（温伯格）
思考题（温伯格亲自出题，原书 1.7 之 3）
二体问题一个高中生就能解，可一旦加进第三个物体，一般情况下就无法求解了。
这个“三体问题”难到什么程度？1969 年，英国伯明翰专门为它开了一次国际会议。论文集收了 70 多篇论文，而且只处理了一些特殊情况——问题至今仍未解决。
你手上有没有一个“三方角力”的僵局：三个部门、三个家庭成员、三方合作伙伴，两两都谈得拢，一坐到一起就散？照今天这笔账看，它为什么这么难？写在留言区。
下篇预告
算不动，怎么办？物理学家想出了另一条路：不算个体，算平均。怪就怪在，一百万人的账，居然比三十个人的账好算得多。可这一招用到你身上的时候，是个圈套——下一篇，平均数为什么保护保险公司，不保护你。
向谦备忘录，愿你每篇都有收获，我们下篇见。
致谢与出处
本篇引用与化用的说法，出处一并列在这里，供你核实：
- 两体系统的 4 个方程、“n 个物体需要 2 的 n 次方个相互作用方程”、10 个物体 1024 个方程与 10 万个物体 10 的 30000 次方个方程、拉普拉斯之梦、“随着问题规模的增长，计算量将如何增长”、计算的平方律与“快 4 倍的计算机”、“年轻的暴发户”那段：《系统化思维导论》，杰拉尔德·温伯格著，王海鹏译，人民邮电出版社（25 周年纪念版），第 1 章第 3 节「计算的平方律」。
- 该节题词“如今，只要有足够的时间和金钱，我们就可以应付生物系统所有的复杂性和多样性”：W. 罗斯·阿什比，转引自同节开头。
- 汉德法官那句“我自己一般在开始时就放弃了”、牛顿的四步简化（忽略小天体、“不需要其他方程”、太阳质量占主导、分解成子系统）、45 个方程与百分之一、10 个方程与二十分之一、三口之家的两两叠加、“是因为太阳系的特点，而不是因为力学原理”、拆分降面积那张图（36→18→6）、“牛顿是一个天才……”与“不要过分依赖天才”：同章第 4 节「科学的简化和简化的科学」。
- 三体问题、1969 年伯明翰国际会议与 70 多篇论文：同章第 7 节思考题第 3 题。
- 我手上那个电子版丢失上标、把“2 的 n 次方”显示成“2n”，是我自己核对时栽的跟头，不是原书的问题。
- “每加进一个新成员，原来所有的搭配都要再来一遍”那句解释，是我替你补的人话，温伯格原文没有展开。
- 可观测宇宙约有 10 的 80 次方个原子：天文学界的通行估计，我拿来当参照，与本书无关。
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