金版计划｜温伯格《系统化思维导论》领读·第 25 篇
向谦备忘录，启发小进步，我是徐向谦。
你在重庆找一家小店。手机导航一路领着你，拐了几个弯，最后说了一句：您已到达目的地。
屏幕上，代表你的蓝点正好压在代表那家店的红点上。你抬头看，四下没有那家店。转了一圈，又往前后各走几步。蓝点晃来晃去，始终贴着红点；店还是没有。
后来问了路边一位老人，他抬手往上一指：在上面那条街。那条街就架在你头顶上，在地图上，两条街几乎叠在一起；要上去，得绕一大段石阶。
地图没有错。哪条街挨着哪条街，往哪边拐，它都标得清清楚楚。它只是平的，这座城的高低，它一点也没画出来。
那么，一张图到底能信几分？导航这种天天用的图都能让你在这儿扑个空，那些报表、走势线、一眼就能看懂的示意图呢？
温伯格专门讲过这件事。他没说图会骗人，他给的是一句很短的嘱咐，短到只有几个字。
坐标在原书第 6 章第 2 节「状态空间」。第 24 篇讲的是自己搭一个白盒；这一节接着问：盒子里的状态一多，怎么把它们摆出来看。
一、排成一张图，空着的地方也在说话
第 24 篇那台音乐盒只有二十来个状态，写几个字母、画几道箭头就看清了，字母写在纸上哪儿都无所谓。同一篇里的那家俱乐部就不一样了：一百个会员，每人十个等级，状态有十的一百次方种。字写得再小也排不下；就算排下了，也找不到想找的东西。温伯格说，得守点儿规矩。
规矩是这样的：要是一个状态由两样性质组成，就把它们排成一张表。第 23 篇把音乐盒拆成了灯和哨两样，那就横着排灯，竖着排哨音，每一格是一个状态，而且只是一个状态。这一节的题词说的正是这个：“物应各有其所，亦应各在其所。”性质的取值一多，格子就缩成点。这套排法，源头在法国哲学家笛卡儿：横竖两个数定一个点，坐标就是这么来的。
温伯格拿来演示的，是美国国家科学基金会报告里的一张图。拿来排的两样性质是年平均气温和年平均降水量，地球上随便哪个地方，都能按这两个数落成图上的一个点。几片阴影标出几类植被：三种森林，还有草地、冻原、沙漠。一眼就看得出，沙漠又热又干，这个谁都知道；冻原又冷又干，这个未必人人知道。
接着他说，这种图的用处，很大一部分不在图上有什么，而在图上没有什么。每样东西都有它的位置，可有些位置上什么也没有。图上的空洞提醒你两种可能：一是你还没看全，有些状态还没观察到；二是你分得太粗，拿来排的那两样性质本身就不够细。
第一种，最有名的例子是俄国化学家门捷列夫那张元素周期表：表上留了空格，后来引出了当时还不知道的元素。温伯格那张图，他猜属于第二种。图上有一角整块空着，正是又冷又湿的那一角：地球上没有这样的地方。他顺手开了一句自己的玩笑：可我们对宾厄姆顿的印象，偏偏就是又冷又湿。那是纽约州的一座小城，他在那里的大学教过书。
那一角空着，是在叫你去找原因：为什么这种组合从来不出现？要么就换一种拆法，换两样性质来排，让图填得匀一点。
换到手边的事也一样。把团队里的人按“来了多久”“能不能独当一面”排进四个格子。要是“来得不久、却能独当一面”那一格一直空着，先别急着说新人都不行：也许是你还没看到这样的人，也许是“能不能独当一面”这一样，本身就分得太粗。
二、影子是同一个，东西可以有无数个
两样性质排一张平面，三样性质还能做个立体模型，再往上就看不见了。温伯格说，数学家谈七维、一百维，并没有什么超能力，只是会往下推：平面上一个点要两个数，立体里一个点要三个数，那么七维里的一个“点”就要七个数。空间里每个点代表系统的一个状态，这样的空间叫状态空间。
可纸面和屏幕只有两维，要把一百维的东西摆给人看，就得往下压。这一步有好几个名字：切片、投影、降维。温伯格举的例子是飞机。它的航线本来是三维的，经度、纬度、高度；画到地图上，只剩经度和纬度。你可以把它想成太阳在正头顶时，飞机投在地上的影子。很多条不同的航线，会投下同一道影子，因为高度这一样，在这张图上丢了。
回到重庆那条街。导航上蓝点压着红点，就是两个地方投下了同一个影子：经度、纬度几乎一样，丢掉的那一维，恰好是隔开你和那家店的那段高度。
丢了的东西，看图的人会自己补上，而且补得飞快。心理学书上常见一个线框画的立方体，盯久了会自己翻个面，哪一面在前，说不准。温伯格说，这还不算完。要是它其实是空中一些铁丝投下来的影子，那么架子有无数种都投得出这个影子，我们认得的只是最熟那两种。他的原话是：
这种无穷多的可能就是投影时真实的多义性，幻相就是不怀疑那是幻相。
他接着转述了体视学家汉斯·伊莱亚斯的一次演讲（体视学这门学问，专管从切片推回立体）。伊莱亚斯在一次科学会议上放了一张幻灯片，说给大家三十秒，认一认屏幕上的结构，提示一下，这是一个切面。答话的人众口一词：“这是纤维。”其实，照片拍的是一样面食的切面。
这一句，我是核对英文原版时才看明白的。中译本作“一大盘绕在一起的意大利宽面条的剖面照片”；英文原版是 a large, folded sheet of lasagna：一大张折起来的千层面面皮。是一整张，不是一根根。这个差别正是那个把戏的机关：一张折了几折的面皮，横着切开，切面上是一道道弯弯曲曲的线，看着就像一根根纤维；它原本是铺开的一整张，切面上看不出来。台下说是纤维，译本说是面条：面条再宽，也还是一根一根的。丢掉的那一面，两边都拿自己最熟的东西填上了。
伊莱亚斯把台下的反应归到训练上：天天看切片的人，很快就把切片当成了东西本身。他们不说“这是一个染色切片的投影图片，展示了腺体管道的斜剖面”，而说“这是腺体管道”。温伯格把这张面皮、那个立方体，连同第 11 篇那张少女老妇图，收成了一条法则：
#24 图像法则：“在谈到降维时，无论你要说什么，请加上‘的图像’几个字。”（第 6 章）
你可能会想：不就是一张图吗，谁不知道图不是东西本身？知道是知道的，伊莱亚斯台下坐的都是科学家。可话一出口，最先省掉的就是这三个字。温伯格说，说“这是立方体的图像”，比说“这是立方体”少惹麻烦，至少那一刻会想起来：这里丢过东西，说不定还得把它找回来。
三、丢掉一些，才看得出它往哪儿走
说到这儿，容易把压扁当成坏事。温伯格不这么看。同一架飞机，让光从侧面打过来，投下的影子丢了一个方向，却留下了一路的高度。做飞行计划算油耗，要的正是这个，因为油耗主要看高度。这一回用不着的那几样，投影一压，就替看图的人省下一大截计算。
他还说了反方向的一步。要是发现原来那张图漏了一样要紧的东西，不必推倒重来，给它添一维就是了。旧图并不作废，它成了新图投下的一个影子，从前看到的照样算数。
再回到第 24 篇那家俱乐部。一百个会员，就是一百维。只盯着其中两三个人看，等于投影：多数时候他们的等级纹丝不动，偶尔一变，又变得突然，莫名其妙。温伯格换了个办法，叫“变换”。投影是把几样性质整个扔掉，变换是把许多样并成少数几样，每样都留一点。他把会员分成两组，每组五十人，各把等级加起来，得到两个数，在图上点一个点。电脑一个点一个点地画下去，那些点一路往左下角挪，挪到（0，0），就不动了：所有人都成了零级。
零级是从哪儿来的，第 24 篇已经揭过底。这里要看的是，它是怎么被看见的。一百个数压成两个和，扔掉的东西多得吓人。温伯格说：
尽管这种变换方法丢弃了许多信息，或者说，正因为这种变换丢弃了许多信息，我们才了解了系统行为的某些特点，用其他视角可能不会有如此明显的效果。
他在这一节末尾又补了半句，还是在记这张图的功劳：要不是透过这个变换过的视角去看它怎么动，“我们也许根本就看不到这个属性”。
重庆那张地图也是这样。它要是把每一层马路、每一段石阶都原样立在你眼前，你多半更找不着北。正因为把高低压掉了，你才一眼看得出那家店在城的哪一边、离你还有多远。它只是在最后那几十步，丢掉了最要紧的那一维。
所以，压扁不是图的毛病。一张图有用，恰恰因为它丢了东西；会出事的，是看图的人把“它丢过东西”这件事也一起丢了。
金版批注
温伯格让人谈降维时加上“的图像”几个字。书出版的第二年，火星上就送来一个现成的例子。
1976 年 7 月 25 日，海盗 1 号轨道器在火星上拍到一块宽约 1.5 公里的山丘。太阳从约 20 度的低角度斜照，阴影落成了两只眼睛、一个鼻子、一张嘴；传输时丢掉的几个数据点，又恰好落在一只“眼睛”和一个“鼻孔”上。几天后 NASA 发布这张照片，说明里写得明白：它像一个人头，那是阴影造成的错觉。
可“火星人脸”还是传了二十多年。2001 年 4 月，火星全球勘测者号以每个像素约 2 米的分辨率重拍了它；同年 5 月，NASA 又拿激光高度计量出的高低，把那块地做成了立体图。这一回补上了照片丢掉的那一维：那是一座普通的山丘。
照片没骗人，NASA 当初也没说错；说“这是一张脸”的人，少说的正是“的图像”这几个字：脸在照片上，不在火星上。
这一篇，你带走什么
黑板报
- 状态一多，就得排成图。排好的图，空着的地方也在说话：要么还没看全，要么分得太粗。
- 把多维压成少维，总要丢东西。许多不同的东西会投下同一个影子；丢掉的那一维，看图的人会拿最熟的东西去填。
- 图有用，恰恰因为它丢了东西。说一句“这是……的图像”，就记得它丢过什么，想找回来的时候，也知道该往哪儿找。
本篇金句
“在谈到降维时，无论你要说什么，请加上‘的图像’几个字。”（温伯格，图像法则）
思考题（6.6 之 5，据温伯格原题改写）
温伯格在章末问过：几百年来，画家把三维景象投到二维画布上，用过哪些办法来消掉其中的不确定？换成你手机相册里的一张照片：它也是把三维压成了二维。看照片的人靠近大远小、前面挡住后面、影子往哪边落，分出远近高低。再找一样被这张照片压没了、光看照片怎么也补不回来的东西。要把它补回来，你得到哪儿另找一份材料？
收束
下回导航说“您已到达”，你却没看见那家店，先别急着怪地图，抬头看看，那一维多半就在你头顶上，或者脚底下。
看别的图也一样：一张户型图，一条走势线，一页周报上的那个数。看的时候，在心里给它补上“的图像”这三个字，再问一句：它把哪一维压掉了？答得上来，这张图就是你的工具；答不上来，离伊莱亚斯台下那三十秒就不远了。
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第 26 篇讲第 6 章第 3 节「时间作为行为的基准」。状态空间里的一条轨迹，看不出系统走得多快：走到（0，0）用了五十步还是五万步，看不出来；航线图上，也分不出喷气客机和慢悠悠的小飞机。温伯格的办法反倒是再添一维：时间。按时间画的图最好用，也容易让人把画在一起的几样东西当成互不相干。第 6 章第 2 节留下的历时、共时两条法则也在那一篇；还有一条数到三法则：想不出三种滥用一样工具的办法，就还不懂怎么用它。
向谦备忘录，愿你每篇都有收获，我们下篇见。