金版计划｜温伯格《系统化思维导论》领读·第 18 篇
向谦备忘录，启发小进步，我是徐向谦。
月底账单来了，电费比往常多出一倍。
家里立刻有了三种说法。一个说是新装的那台空调，一个说是孩子房间的灯从来不关，还有一个说是电表老化，该找物业看看。三种说法都能把多出来的那笔钱说圆，谁也驳不倒谁。你心里还冒出过第四种说法：会不会就是这个月天热，下个月自己就回去了。
有意思的是，每个人给出的那个解释，都恰好把自己摘了出去。
你想让那个数字自己说句公道话。可它就是一个数字，你翻来覆去地看，它对每一种说法都点头，对每一种都不反对。凭什么某一个解释就该胜出？
温伯格给的答案一开始听着有点泄气：不是哪个解释更对，是有人替它做了主。这一篇要说清楚的，是解释为什么天生不止一个，以及你其实是按什么在挑。
坐标在原书第 4 章第 4 节「函数符号与简化思想」和第 5 节「不完全与过于完全」。这两节连着做一件事：前一节教你把“这件事取决于什么”说清楚，后一节告诉你，说清楚之后为什么还是定不下来。本篇另借了第 3 节里两个例子，用到的地方会标出来。
一、你说“这事取决于什么”，就是在当众划一个圈
温伯格先给前面那只黑箱补了一句。黑箱这个模型把观察讲得太被动，好像观察者只能在箱子外面干等，既不许动箱子，也不许动自己。可实际情况里，观察者有两件事必须自己定：看多宽，看多细——原书管这两样叫观察的范围和粒度。这两样定下来，你能看见什么也就跟着定了，所以这一步不能一挥手带过去。
当你选定一个观察范围，你其实是在宣布：框在里面的这些东西是重要的——至少是我能观察到的那些里头最重要的。
数学给这个动作备了一个很省事的记号，叫函数符号。写出来是这样：
z = f(a, b, x)
读作“z 是 a、b、x 的函数”，或者干脆读成“z 取决于 a、b 和 x”。本篇的数学只有这一个记号，它也不要求你算任何东西。它只要求你把一句话说清楚，而这句话的全部重量，压在一个没写出来的字上：只。 z 取决于这三样，而且就我知道的、我关心的而言，也只有这三样。写下它的那一刻，别的所有东西都被你推到圈外去了。
这个记号最值钱的地方，是允许你在还不知道答案时就先开口。英国物理学家牛顿在写出万有引力定律之前，本可以先写下 F = f(M, m, r)——引力只取决于两个物体的质量和它们之间的距离，怎么个取决法暂时不知道。可走到这一步，剩下的活儿就好办多了。
还可以更诚实一点。如果连“还有什么没算进来”你都说不清，函数符号允许你在括号里留一串省略号：f(a, b, …)。意思是，我知道它还依赖别的东西，现在说不上来，打算回头再来。这三个点是本篇最该学走的那个小动作。
第 12 篇那支温度计，在原书里正是拿来演这件事的。第一版模型说：读数取决于水温。发现读数是慢慢爬上去的，模型变成：取决于水温、下水前的气温和下水多久。最后再添一个变量，描述水银和玻璃的差别。每加一个变量，都是一次公开改口：我原先说不相干的东西，现在算数了。
今天最省事的一种划圈，是把一堆日志丢给一个系统，让它自己找规律。可它能看见的，仍然只有你喂进去的那几样。
这一节的题词是经济学家肯尼斯·伯丁的一句话：“数学在所有应用领域中都是个出色的仆人，但是个糟糕的主人。”温伯格把它摆在开头是有防备的：记号让你省事，省着省着，你会忘了当初圈掉过什么。
二、数字跟你的说法对不上，你有三条岔路可走
先说件扫兴的事。“T 取决于 a”看着挺像个结论，其实什么都没说死。它可以代表 T = a，可以代表 T = a + 1，也可以代表一堆你写不完的式子里的任何一个——含 a 的方程有无数个，函数符号把这无数个揉成了一个记号。这正是第 17 篇那条揉团定律在干的事，只是这回揉的不是状态，是解释。
那怎么才能说这样一句话“错了”？只有一条路：盯着 T 和 a 的行为看。
温伯格摆了个极简的推演。你观察到 a 是 7.5 时，T 是 10；过一阵又撞见一次，还是 7.5 配 10，到这里都对得上。可接下来你看到：a 是 7.5，T 却是 25。
有哪儿不对了。要么 T 还依赖某个你根本没在看的东西，要么是你把 a 或者 T 量错了。摆在面前的是三条岔路：扩大观察范围，承认还有别的变量，把说法改写成 T = f(a, …)；或者提高测量的精细程度，怀疑是自己量得不够准；或者把这次测量当成错的，扔掉。
温伯格接着说了本篇最扎人的一句：选哪一条，“首先取决于我们对 T = f(a) 的信心有多强”。
不是取决于那个数字。那个数字三条路都支持。
我也在这个岔路口站过。我做过一条视频，是模仿别人一条已经火了的视频做的，播放量比我自己原创的那些多出一大截。我当场给它配好了解释：跟着本来就火的视频做，就能分到流量。这就是我的“T 取决于 a”。
接着我照这个解释又做了很多条。只有极少数播得不错，多数平平无奇——a 还是模仿，T 却一条接一条不是那个数了。可我没在第二条、第三条就改口，一直做下去才换了做法。让我迟迟不换的，不是后面那些数字，是我对第一条那个解释的信心。
换了做法，有一样没改：接着发。发得多了，总会偶尔冒出几条播得不错的，用哪种做法都一样。回头再看第一条，它很可能也只是偶尔冒出来的那一条。我没看见的那个变量不在圈外很远的地方，就是我天天在做、却从没当成变量的那件事——发了多少条。第 05 篇引过德摩根那句老话：凡是可能发生的，只要我们试的次数够多，就会发生。
我最后走的是第一条，只是走得晚。第三条岔路上翻车翻得最壮观的，是做学问的人。拿古代天文学家留下的观测记录推算时间，那些观测今天已经无法重做，挑挑拣拣就格外方便。给一条可疑的记录标上时间和地点，美国物理学家罗伯特·牛顿（跟前面那位牛顿没有关系）管这套动作叫“识别游戏”。他还漂亮地演示了一遍：靠这套动作，哪怕“原始”数据只是一堆随机数，照样能凑出一个“经典”的结果。
比这更糟的是走过场的观察，把所有跟理论不符的结果都当成伪造的扔掉。温伯格讲了个很好笑的例子：维也纳的女士们喝茶前总要先称体重，轻了一公斤，就多吃一块蛋糕；重了一公斤，就说体重秤出了毛病，还是多吃一块蛋糕。（这两处在原书第 4 章第 3 节）换成今天的说法：数据支持就说“数据说话了”，不支持就说“口径有问题，再跑一遍”——跑到支持为止。每一步都站得住，结论从头到尾一动没动。
三、两个解释都说得通，你挑的那个说的是你自己
还有反过来的一种毛病，温伯格管它叫“过于完全”：a 从 0 变到 7.5 再变到负 578，T 一直是 10，那就别看 a 了，看它是浪费时间。麻烦的是中间那一档。你猜 T 取决于 a、b、c 三样，记下三组观察，T 每次都是 10——这到底是因为 a 根本不相干，还是因为在你看得到的范围里，几样东西刚好互相抵消了？
“对于任何有限的观察集合，解释集合都是无限的。” 原书在这里画了两个公式，都能解释那同样三条观察，一个带 a，一个不带。哪个更好？已有的观察分辨不了，只能由你来挑。这是一只黑箱，第 15、16 两篇那只箱子的老问题又回来了。
真正有意思的是他给的挑选依据：你的能力。多看一眼容易、脑子里算起来吃力的人，会挑变量多、公式简单的那个；算得快、看得费劲的人会挑变量少的，用原书的说法，“多些思考，少些观察”。第 16 篇那根跷跷板在这儿又出现了一次——这一回它决定的不是你能看见什么，是你会信哪个解释。
“不打开箱子，我们就不知道里面到底是齿轮还是电路，或是一只受过训练的猴子在摇动摇杆。”
两个模型要是都符合你手上全部的观察数据，温伯格管它们叫同构，也就是“相同的形状”。他的建议挺反直觉：逻辑上最好的办法是找出一组都符合观察的同构模型——是一组，不是挑一个出来当真相。
读到这里你可能想拍桌子：照这么说怎么解释都行，那还较什么真？不是这个意思。说得通的解释有无限个，站得住的还是得一条条筛；温伯格要你别做的，是装作那个选择是数据替你做的。他自己列了一串真实的挑选理由，几乎每一条你都在会上听过：因为 b 不好观察；因为没注意到少一个变量也够用；因为注意到了，可就是不喜欢那个公式；因为我们是搞物理的，知道“物理系统不会有那样的行为”；还有最实在的一种，顽固地认为“无论如何，都要包含 b”。
机器学习那边有个现成的对照，叫过拟合：模型把手上这批数据的每个疙瘩都解释得严丝合缝，换一批就露馅。这一行的解法接着温伯格往下走：旧观察分辨不了，就造新的——留一份数据不给模型看，专门当裁判。你家那张电费单，没有这样一份留出来的数据。
你以为自己在挑哪个解释是对的，其实你在挑哪个解释你付得起——多看一眼便宜，还是多想一层便宜；旧说法留着便宜，还是推翻它便宜。数据不替你付这笔账，它只是站在那儿，对每一种说法都点一次头。
金版批注
温伯格写下“不打开箱子就不知道里面是什么”这句话时，后面跟着一条退路：所谓打开箱子，就是再往下分解一层。这条退路今天失效了一半。有一类箱子如今本来就是敞开的——参数全在那儿，每一个数都能打印出来，每一步计算都能复现，分解到了不能再细；可你照样说不出它到底取决于什么，照样答不上它这一次为什么这么答。于是有了一门学问叫可解释性，整门都在替这句话找补。失效的不是他的判断。他说观察本身没法在同构的模型之间裁决，这句话今天只会更成立。失效的是他留的那条退路：他那个年代，分解到底总归能看见齿轮；如今分解到底，看见的还是一整面墙的数字。
这一篇，你带走什么
黑板报
- 说一句“这件事取决于什么”，就是在当众划一个圈：圈里的算数，圈外的不算。这句话能被检验，也能被推翻，比“影响因素很多”有用得多。
- 同一批数字摆在那里，说得通的解释不止一个，是无限个。数据没法在它们之间裁决，它对每一种都点头。
- 数字跟你的说法对不上时，你有三条岔路：承认有没看到的变量、怀疑自己量得不准、把它当错的扔掉。你走哪一条，暴露的是你对旧说法还剩多少信心，不是那个数字的性质。
本篇金句
“对于任何有限的观察集合，解释集合都是无限的。”（温伯格）
思考题（温伯格亲自出题，4.7 之 3）
靠考古重建过去，处处是“有选择地忽略”的机会。原书举过南伊利诺伊州一处遗址，挖过好几次，始终没发现更早时期的房屋遗迹——研究者只在碎陶器多的地点下铲。设想一下：将来有人挖到你住的这座城市，只在饮料瓶碎片密集的地方下铲，他会还原出一个什么样的我们？换几拨不同的观察者来挖，又会还原出几个我们？
收束
回到月底那张电费单。那个数字不会改口，也不会替谁站台，家里三种说法它都点头。能做的只有一件小事：下次你说“这次多出来的电费是因为空调”，在后面添上三个点——“是因为空调，还有一些我还没搞清的东西”。这三个点替你省不下一分钱，可它是你日后回头找补的唯一入口。把话说死的人，是不会回头的。
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第 19 篇讲另一种说不到一块儿去。这一篇里定不下来，是因为解释太多、数据挑不出；下一篇里，两个人看见的都是真的，只是从两处看的，谁也归约不成谁——温伯格从物理学借了个词，叫互补性。
向谦备忘录，愿你每篇都有收获，我们下篇见。